Draghi se rend à Londres dans le cours des années 1660 du règne de Charles II alors que celui-ci essaye en vain, d'établir l'opéra italien en Angleterre. Il reste en Angleterre le reste de sa vie.
En 1673, Draghi est d'abord nommé organiste de la chapelle Catholique de la reine à Somerset House. En 1684, il prend part dans ce qui est connu sous le terme de Bataille des orgues. Il est embauché par le maître facteur d'orgue Renatus Harris, afin de démontrer la supériorité de son instrument lorsqu'Harris essaye de décrocher le contrat de construction du nouvel orgue de l'Église du Temple. Le rival d'Harris, le « Père » Bernard Smith, embauche les organistes et compositeurs
John Blow et
Henry Purcell pour faire la démonstration de son orgue et remporte le concours.
Draghi a reçu une pension de retraite par le roi William III, en 1698.
